삼차 다항식의 근 구하기
이 글은 복소 평면에서 삼차 다항식의 근을 구하는 방법을 설명한다. 삼차 다항식의 depressed 형태와 카르다노 공식(Cardano’s formula)을 사용한다. 또한 삼차 다항식의 근을 시각화하는 인터랙티브 데모를 보인다.
단일 변수 \(x\)를 가지며 최고차 지수가 3인 삼차 다항식이 주어진다.
\[f(x): a x^3 + b x^2 + c x + d = 0,\]여기서 \(a \neq 0\), \(b\), \(c\), \(d\)는 실수다.
치른하우스 변환
치른하우스 변환(Tschirnhaus transformation)을 사용하면 \(x^2\) 항을 제거하고 삼차 다항식을 간단히 depressed 형태로 변형할 수 있다. \(x\)를 \((y-p)\)로 두고 삼차 다항식에 대입한다.
\[\begin{align} f(y-p) &= a (y-p)^3 + b (y-p)^2 + c (y-p) + d \\ &= a y^3 + (-3ap + b) y^2 + (3ap^2 -2 bp + c)y + (-ap^3 + bp^2 -cp + d) \\ &= 0 \end{align}\]\(p=\frac{b}{3a}\)로 두면 \(y^2\) 항의 계수가 0이 된다. 그런 다음 \(y^3\) 항의 계수가 1이 되도록 다항식을 정리하자.
\[g(y): y^3 + q y + r = 0,\]여기서
\[\begin{align} q &= \frac{3ac-b^2}{3a^2},\\ r &= \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}.\\ \end{align}\]이다.
카르다노 공식
근 \(y\)를 \(u\), \(v\)로 분해할 수 있다고 하자.
\[y = u+v.\]그러면 depressed 삼차 다항식은 다음과 같이 변환된다.
\[\begin{align} &(u+v)^3 + q(u+v) + r \nonumber \\ &= u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + 3uv^3 + q(u+v) + r \nonumber\\ &= u^3 + v^3 + r + (u+v)(3uv+q) = 0. \end{align}\]임의의 \(q\), \(r\)에 대해, \(u\)와 \(v\)가 \(u^3+v^3=-r\), \(uv = -q/3\)을 만족하면 위 식이 성립한다. \(u+v = 0\)이 만족되면 \(r\)은 0이어야 하는데, 이는 특수한 경우다. 그러면 우리가 할 일은 위 두 식을 이용해 \(u\), \(v\)를 찾고 \(x = u+v-p\)를 푸는 것이다. 후자의 식을 세제곱하면 다음을 얻는다.
\[\begin{align} u^3+v^3&=-r, \\ u^3v^3 &= -q^3/27. \end{align}\]간단히 하기 위해 \(m=u^3\), \(n=v^3\)이라 하자. 그러면 \(m\), \(n\)은 다음을 만족하며
\[\begin{align} m+n &=-r, \\ mn &= -q^3/27, \end{align}\]이는 \(m\), \(n\)이 아래 이차 다항식의 근임을 의미한다.
\[t^2 + rt -\frac{q^3}{27}\]따라서 \(m\), \(n\)은 다음과 같이 얻는다.
\[\begin{align} m &= -\frac{r}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{r^2 + \frac{4}{27}q^3}, \\ n &= -\frac{r}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{r^2 + \frac{4}{27}q^3}. \\ \end{align}\]또한 \(u\), \(v\)는 다음으로 계산된다.
\[\begin{align} u &= \sqrt[3]{m},~ \omega\sqrt[3]{m}, \text{ 또는 }~ \omega^2\sqrt[3]{m},\\ v &= \sqrt[3]{n},~ \omega\sqrt[3]{n}, \text{ 또는 }~ \omega^2\sqrt[3]{n}, \\ \end{align}\]여기서 \(\sqrt[3]{m}\), \(\sqrt[3]{n}\)은 \(m\), \(n\)의 실수 세제곱근이고, \(\omega=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\)는 \(\omega^3=1\)을 만족하는 복소수다. \(uv=-q/3\)이 실수이므로, \(u\), \(v\)의 가능한 조합은
\[\begin{align} (u, v) = &(\sqrt[3]{m}, \sqrt[3]{n}),\\&(\omega\sqrt[3]{m}, \omega^2\sqrt[3]{n}),\\&(\omega^2\sqrt[3]{m}, \omega\sqrt[3]{n}). \end{align}\]이다. 정리하면, 삼차 다항식
\[a x^3 + b x^2 + c x + d = 0,\]의 근은
\[\begin{align} x_1 &= \sqrt[3]{-\frac{r}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{r^2 + \frac{4}{27}q^3}} + \sqrt[3]{-\frac{r}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{r^2 + \frac{4}{27}q^3}},\\ x_2 &= (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)\sqrt[3]{-\frac{r}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{r^2 + \frac{4}{27}q^3}} + (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)\sqrt[3]{-\frac{r}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{r^2 + \frac{4}{27}q^3}},\\ x_3 &= (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)\sqrt[3]{-\frac{r}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{r^2 + \frac{4}{27}q^3}} + (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)\sqrt[3]{-\frac{r}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{r^2 + \frac{4}{27}q^3}}, \end{align}\]이며, 여기서
\[\begin{align} q &= \frac{3ac-b^2}{3a^2},\\ r &= \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}.\\ \end{align}\]이다.