사차 다항식의 근 구하기

이 글은 복소 평면에서 사차 다항식의 근을 구하는 방법을 설명한다. 사차 다항식의 depressed 형태와 데카르트의 방법(Descartes’ method)을 사용한다. 또한 사차 다항식의 근을 시각화하는 인터랙티브 데모를 보인다.

단일 변수 \(x\)를 가지며 최고차 지수가 4인 사차 다항식이 주어진다.

\[f(x): a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0,\]

여기서 \(a \neq 0\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)는 실수다.

치른하우스 변환

치른하우스 변환을 사용하면 \(x^3\) 항을 제거하고 사차 다항식을 간단히 depressed 형태로 변형할 수 있다. \(x\)를 \((y-p)\)로 두고 사차 다항식에 대입한다.

\[\begin{align} f(y-p) =&~ a (y-p)^4 + b (y-p)^3 + c (y-p)^2 + d (y-p) + e \\ =&~ a y^4 + (-4ap + b) y^3 + (6ap^2 -3 bp + c)y^2 +\\ &~ (-4ap^3 + 3bp^2 -2cp + d)y + (ap^4 - bp^3 + cp^2 - dp + e) \\ =&~ 0 \end{align}\]

\(p=\frac{b}{4a}\)로 두면 \(y^3\) 항의 계수가 0이 된다. 그런 다음 \(y^4\) 항의 계수가 1이 되도록 다항식을 정리하자.

\[g(y): y^4 + q y^2 + r y + s = 0,\]

여기서

\[\begin{align} q &= \frac{-3b^2+8ac}{8a^2},\\ r &= \frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3},\\ s &= \frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4}. \\ \end{align}\]

이다.

데카르트의 방법

위 사차 다항식을 두 이차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다고 하자.

\[\begin{align} &y^4 + q y^2 + r y + s \\ &= (y^2 + ky + m)(y^2 + ly + n) \\ &= y^4 + (k+l)y^3 + (kl+m+n) y^2 + (kn+lm)y + mn \end{align}\]

\(y^3\)의 계수가 0임을 이용하면 \(k+l=0\)을 얻는다. 따라서 \(l\)을 소거하면 계수들은 다음을 만족한다.

\[\begin{align} m+n-k^2&=q, \\ k(n-m)&=r, \\ mn&=s. \end{align}\]

\(k=0\)인 경우, \(m+n=q\)와 \(mn=s\)가 만족되므로 \(m\)과 \(n\)은 다음 이차 다항식의 근이다:

\[t^2 - qt + s = 0\]

따라서,

\[m, n = \frac{q}{2} \pm \frac{\sqrt{q^2-4s}}{2}.\]

이다. 또한 위 \(y\)에 대한 다항식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

\[(y^2 + m)(y^2 + n) = 0.\]

따라서 네 개의 근을 얻는다:

\[\begin{align} y_1 &= \sqrt{-m},\\ y_2 &= -\sqrt{-m}, \\ y_3 &= \sqrt{-n}, \\ y_4 &= -\sqrt{-n}, \end{align}\]

그리고

\[\begin{align} x_1 &= \sqrt{-\frac{q}{2}+ \frac{\sqrt{q^2-4s}}{2}}-p,\\ x_2 &= -\sqrt{-\frac{q}{2}+ \frac{\sqrt{q^2-4s}}{2}}-p, \\ x_3 &= \sqrt{-\frac{q}{2}- \frac{\sqrt{q^2-4s}}{2}}-p, \\ x_4 &= -\sqrt{-\frac{q}{2} - \frac{\sqrt{q^2-4s}}{2}}-p, \end{align}\]

이다. 한편, \(k \neq 0\)인 경우의 다항식을 풀어 보자. 아래 식들을 다시 떠올리자.

\[\begin{align} m+n-k^2&=q, \\ k(n-m)&=r, \\ mn&=s. \end{align}\]

첫째 행에 \(k\)를 곱하고 둘째 행을 더하거나 빼면 다음을 얻는다.

\[\begin{align} 2mk &= k^3 + qk - r, \\ 2nk &= k^3 + qk + r. \end{align}\]

그런 다음 셋째 행에 \(k^2\)을 곱하고 위의 \(m\)과 \(n\)을 곱하면, \(k^2\)에 대한 삼차 다항식이 유도된다.

\[\begin{align} (k^3 + qk - r)(k^3 + qk + r) &= 4sk^2\\ (k^2)^3 + 2q (k^2)^2 + (q^2-4s)(k^2) -r^2 &= 0 \end{align}\]

카르다노 공식을 이용해 위 삼차 다항식의 근을 구할 수 있다. 그 근을 \(u^2\), \(v^2\), \(w^2\)이라 하자. 그러면 \(k\)에 대한 6차 다항식의 근은 \(\pm u\), \(\pm v\), \(\pm w\)이다.

다시 depressed 사차 다항식으로 돌아가자.

\[\begin{align} &(y^2 + ky + m)(y^2 + ly + n) \\ &= (y^2 + ky + m)(y^2 - ky + n) = 0. \end{align}\]

두 이차 다항식으로부터 근은

\[\begin{align} y_1 &= -\frac{k}{2}+\frac{\sqrt{k^2-4m}}{2} \\ y_2 &= -\frac{k}{2}-\frac{\sqrt{k^2-4m}}{2} \\ y_3 &= \frac{k}{2}+\frac{\sqrt{k^2-4n}}{2} \\ y_4 &= \frac{k}{2}-\frac{\sqrt{k^2-4n}}{2} \\ \end{align}\]

이다. \(k\)는 위 6차 다항식의 근이며 \(u\), \(v\), \(w\) 중 하나다. 지금은 \(k=u\)라 하자. 그러면

\[\begin{align} m &= \frac{u^3 + qu - r}{2u}, \\ n &= \frac{u^3 + qu + r}{2u}. \end{align}\]

이고

\[\begin{align} y_1 &= -\frac{u}{2}+\frac{\sqrt{u^2-4m}}{2} \\ &= \frac{u}{2}+\frac{\sqrt{u^3-2(u^3+qu-r)}}{2u} \\ &= \frac{u}{2}+\frac{\sqrt{u^3-2u^3+(u^2+v^2+w^2)u\pm2uvw)}}{2u} \\ &= \frac{u}{2}+\frac{\sqrt{v^2+w^2\pm2vw}}{2} \\ &= \frac{u \pm v \pm w}{2}, \\ \end{align}\]

이며, 여기서 계수와 근의 관계로부터 \(u^2+v^2+w^2=-2q\), \(u^2v^2w^2=-r\)이다. 비슷하게 다음을 얻을 수 있다.

\[\begin{align} y_2 &= \frac{u \mp v \pm w}{2}, \\ y_3 &= \frac{-u \pm v \pm w}{2}, \\ y_4 &= \frac{—u \mp v \pm w}{2}. \\ \end{align}\]

\(k=v\)나 \(w\)로 가정해도 근은 위와 동일하게 유도된다. 세 개의 \(\pm\) 부호 때문에 \(u\), \(v\), \(w\)의 조합은 8가지다. 8개의 후보로 사차 다항식의 값을 계산하여 0을 만드는 근을 찾음으로써 근을 얻을 수 있다.

정리하면, 사차 다항식

\[a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0,\]

의 근은 아래 값들 중에 있다.

\[x_* = \frac{\pm u \pm v \pm w}{2} - p\]

여기서 \(u^2\), \(v^2\), \(w^2\)은 삼차 다항식 \(h(t): t^3 + 2q t^2 + (q^2-4s)t -r^2 = 0\)의 근이고,

\[\begin{align} q &= \frac{-3b^2+8ac}{8a^2},\\ r &= \frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3},\\ s &= \frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4}. \\ \end{align}\]

이다.