구면 조화 함수 시각화
이 글은 구면 조화 함수(Spherical Harmonics, SH)를 소개하고 그 수학적 기초와 응용을 설명한다. SH 함수가 구면 위의 데이터를 표현하는 데에 어떻게 사용되는지, 특히 3D Gaussian Splatting 분야를 포함한 컴퓨터 그래픽스에서의 활용을 다룬다. 인터랙티브 데모를 통해 SH 계수를 조작하고, 그것이 색상 표현(Red, Green, Blue)과 구면의 변형(Height)에 미치는 영향을 관찰할 수 있다. 또한 SH에서 연관 르장드르 다항식(Associated Legendre polynomial)의 역할을 설명한다. 이 글은 SH에 대한 직관적인 이해를 제공하는 것을 목표로 한다.
구면 조화 함수(SH)는 각좌표(위도와 경도)로 구의 표면을 정의하는 수학 함수들의 집합이다. 양자 물리학, 화학, 그리고 컴퓨터 그래픽스를 포함한 다양한 분야에서 구면 위의 데이터를 표현하는 데 널리 사용된다. 특히 시선 방향에 따라 표면을 렌더링하는데에 사용될 수 있어 컴퓨터 비전에서 유명해졌다. 위 인터랙티브 데모에서 구면 조화 함수의 계수를 조절하고 그 결과를 볼 수 있다. Red, Green, Blue 모드는 SH 계수로 각 색상을 표현하고, _Height_는 구의 형태를 변형한다.
수학적으로 구면 조화 함수는 구면 좌표계에서의 라플라스 방정식의 해다. 각 구면 조화 함수는 두 가지 매개변수로 결정된다: 차수(degree) \(\ell\)(해상도 또는 세부 정도를 나타냄)과 계수(order) \(m\)(각 변화를 나타냄). 이들은 다음과 같이 표현된다.
\[Y_\ell^m (\theta, \phi) = C \cdot P_\ell^m (\cos \theta) \cdot e^{i m \phi},\]여기서 \(P_\ell^m (x)\)는 계수 \(m\)의 연관 르장드르 다항식, \(\theta\)는 극각(0부터 \(\pi\)), \(\phi\)는 방위각(0부터 \(2\pi\))이며, \(C\)는
\[\begin{align} &\int {||Y_\ell^m (\theta, \phi)||^2} d\Omega \\\nonumber =& \int {||Y_\ell^m (\theta, \phi)||^2} \sin \theta d\theta\phi \end{align}\]가 1이 되도록 하는 정규화 계수다.
음의 \(m\)에 대해서는 다음과 같이 표현된다.
\[Y_\ell^{m}(\theta, \phi) = (-1)^{\mid m\mid} Y_\ell^{\mid m\mid}(\theta, \phi)^*\]연관 르장드르 다항식
\(P_\ell^m(x)\)로 표기되는 연관 르장드르 다항식(Associated Legendre polynomial)은 구면 좌표계에서 라플라스 방정식을 푸는 과정에서 나타난다. 이는 18세기에 Adrien-Marie Legendre가 천체 역학과 포텐셜 이론의 문제를 풀기 위해 도입한 표준 르장드르 다항식 \(P_\ell(x)\)의 확장이다.
방위각 대칭성이 깨질 때(즉, 문제가 극각과 방위각 모두에 의존할 때), 그 해는 연관 르장드르 다항식이라 불리는 함수족을 포함한다. 이 다항식들은 구면 조화 함수, 양자 역학, 그리고 구면 대칭성을 포함하는 모든 분야에서 필수적이다. 르장드르 다항식은 르장드르 미분 방정식의 해다.
\[\frac{d}{dx} \left[ (1 - x^2) \frac{dP_\ell(x)}{dx} \right] + \ell(\ell+1)P_\ell(x) = 0\]이들은 로드리게스 공식(Rodrigues’ formula)을 이용해 명시적으로 정의할 수 있다.
\[P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell \ell!} \frac{d^\ell}{dx^\ell} \left( x^2 - 1 \right)^\ell,\]여기서 \(\ell ~(\ell \geq 0)\)은 다항식의 차수다. 연관 르장드르 다항식은 다음 공식을 이용해 계수 \(m ~(\mid m\mid \leq \ell)\)를 도입함으로써 르장드르 다항식으로부터 유도된다.
\[P_\ell^m(x) = (1 - x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_\ell(x)\]여기서 \(m\)은 미분으로 표현되는 각 변화의 계수다. 음의 계수 \(m\)에 대해, 연관 르장드르 다항식은 양의 \(\mid m\mid\)에 대한 것과 다음 관계를 가진다.
\[P_\ell^{m}(x) = (-1)^{\mid m\mid } \frac{(\ell-\mid m\mid )!}{(\ell+\mid m\mid )!} P_\ell^{\mid m\mid }(x)\]이 관계는 다항식의 대칭 성질을 보장하며, 구면 조화 함수에서 자주 사용된다.
직교성
구면 조화 함수는 직교성(orthogonality) 성질을 만족한다.
\[\int_{\Omega} Y_\ell^m(\theta, \phi) Y_{\ell{'}}^{m{'}*}(\theta, \phi) \, d\Omega = \delta_{\ell \ell{'}} \delta_{m m{'}},\]여기서 \(\Omega\)는 구면을 나타내며(\(\theta\)는 \(0\)부터 \(\pi\), \(\phi\)는 \(0\)부터 \(2\pi\)까지 적분), \(\delta_{\ell \ell{'}}\)와 \(\delta_{m m{'}}\)는 크로네커 델타 함수, 위첨자 \(*\)는 켤레 복소수를 나타낸다.
이 직교성은 구면 조화 함수가 정규 직교 기저(orthonormal basis)를 이룸을 의미하며, 따라서 구면 위에 정의된 임의의 함수 \(f(\theta, \phi)\)는 구면 조화 함수의 가중합으로 유일하게 분해될 수 있다.
분해와 전개
구면 조화 함수를 이용해 구면 위의 함수 \(f(\theta, \phi)\)를 표현하려면, 그 계수 \(c_\ell^m\)을 계산해야 한다. 이 계수들은 다음을 통해 얻는다.
\[c_\ell^m = \int_{\Omega} f(\theta, \phi) Y_\ell^{m*}(\theta, \phi) \, d\Omega\]\(\ell = 0, \ldots, L\)에 대한 계수 \(c_\ell^m\)을 얻으면, 원래 함수 \(f(\theta, \phi)\)는 구면 조화 함수의 유한 급수 전개로 근사할 수 있다.
\[f(\theta, \phi) \approx \sum_{\ell=0}^L \sum_{m=-\ell}^\ell c_\ell^m Y_\ell^m(\theta, \phi),\]여기서 \(L\)은 근사에 사용된 조화 함수의 최대 차수다. \(L\)이 클수록 더 세밀한 디테일을 포착하지만 계산 비용이 증가한다. 아래 이미지는 지구의 텍스처를 구면 조화 함수의 전개로 렌더링한 것이다. \(L\) 값이 커질수록 더 많은 디테일이 나타나는 것을 볼 수 있다.
